TUGAS MANDIRI 2 - KALKULUS I KAMPUS ITBI MILENIAL

NAMA           : DARIUS GULO

JURUSAN      : SISTEM INFORMASI S1

KELAS            : EKSEKUTIF

 

TUGAS MANDIRI KALKULUS I

 

Sekian,

Thank You and I Love You Six Thousand

TUGAS MANDIRI I - KALKULUS I KAMPUS ITBI MILENIAL

NAMA           : DARIUS GULO

JURUSAN      : SISTEM INFORMASI S1

KELAS            : EKSEKUTIF

 

BILANGAN REAL

 

PENGERTIAN BILANGAN REAL

Bilangan real adalah himpunan bilangan yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu. Bilangan real juga dapat diartikan sebagai himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional.

 

MACAM MACAM BILANGAN REAL

 

Bilangan Nol, yaitu bilangan yang tidak memiliki nilai kecuali ditambah dengan bilangan positif, nol (0).

Bilangan Asli, yaitu bilangan positif yang tidak dimulai dari angka nol melainkan dimulai dari angka satu, seperti {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …dst}.

Bilangan Bulat, yaitu himpunan dari bilangan negatif, bilangan nol dan bilangan positif, seperti {…, -7, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …dst}.

Bilangan Prima, yaitu bilangan yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lain kecuali satu dan bilangan itu sendiri, seperti {2, 3, 5, 7, 11, 13 …dst}.

Bilangan Cacah, yaitu himpunan dari bilangan nol dan bilangan positif atau bilangan yang dimulai dari nol, seperti {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …dst}.

Bilangan Pecahan, yaitu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk n/m dimana n sebagai pembilang dan m sebagai penyebut yang merupakan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol (b ≠ 0), seperti {⅓, ⅔, ⅛, ⅝, …dst}.

Bilangan Rasional, yaitu bilangan yang ditulis dalam bentuk n/m posisinya sama dengan bilangan pecahan dimana n dan m merupakan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol (b ≠ 0), seperti {⅓, ⅔, ⅛, ⅝, …dst}.

Bilangan Irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dijadikan sebagai bilangan pecahan, seperti {√2, √3, √5, √6, √7, …dst} √9 bukan merupakan bilangan irasional karena √9 = 3.

Bilangan Komposit, yaitu bilangan asli yang lebih dari satu namun tidak termasuk bilangan prima, seperti {4, 6, 8, 9, 10, 12, …dst}.

Bilangan Positif, yaitu bilangan yang memiliki nilai positif selain nol, seperti {13, 14, 15, 16, 17, 18, …dst}.

Bilangan Negatif, yaitu bilangan yang memiliki nilai negatif selain nol, seperti {-7, -6, -29, -3, -8, …dst}.

Bilangan Genap, yaitu bilangan yang akan habis jika dibagi dengan angka dua, seperti {2, 4, 6, 8, 10, 12, …dst}.

Bilangan Ganjil, yaitu bilangan yang jika dibagi dua akan tersisa satu atau biasa menggunakan 2n-1 dimana n merupakan bilangan bulat, seperti {-1, 1, 3, 5, 7, 9, …dst}.

Bilangan Kuadrat, yaitu bilangan yang dihasilkan dari perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak dua kali yang disimbolkan dengan pangkat dua, seperti {25, 36, 49, 64, …dst}.

Bilangan Romawi, yaitu bilangan yang angkanya berasal dari romawi kuno melambangkan angka numerik, seperti {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, …dst} angka tersebut merupakan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …dst}.

 

SIFAT SIFAT BILANGAN REAL

 

Aksioma Medan/Lapangan, membahas operasi penjumlahan dan perkalian (aljabar) memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan real dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.

 

Sifat Komutatif (Pertukaran)
Penjumlahan : x+y = y+x Contoh: 5+6 = 6+5
Perkalian : x.y = y.x Contoh: 5.6 = 6.5
Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
Penjumlahan : (x+y)+z = x+(y+z) Contoh: (5+6)+0,5 = 5+(6+0,5)
Perkalian : (x.y).z = x.(y.z) Contoh: (5.6).0,5 = 5.(6.0,5)
Sifat Eksistensi Bilangan 0
Terdapat 0 elemen ℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a
Contoh: 0 + 6 = 6+0
Sifat Eksistensi Elemen Negatif Atau Invers Penjumlahan
Setiap a elemen ℝ terdapat -a elemen ℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan (-a) + a = 0
Contoh: (-5) + 5 = 0 dan 5 + (-5) = 0

Sifat Eksistensi Elemen Unit 1
Terdapat 1 elemen ℝ sedemikian hingga 1.a = a dan a.1 = a
Contoh: 1. 2,4 = 2,4 . 1

Sifat Eksistensi Invers Perkalian
Setiap a elemen ℝ dengan a bukan sama dengan nol, terdapat 1/a elemen ℝ sedemikian sehingga (1/a) . a = 1 dan a. (1/a) = 1
Contoh: (1/5).5 = 1
Sifat Distributif (Penyebaran)

x.(y+z) = (x.y) + (x.z) dan (y + z).x = (y.x) + (z.x)
Contoh: 4.(2+3) = (4.2) + (4.3)

 

Aksioma Urutan, membahas tentang bilangan positif dan negatif, relasi lebih kecil dan lebih besar, persamaan, pertidaksamaan dan ketaksamaan.

 

Sifat Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan real, x<y atau x=y atau x>y

Ketransitifan, jika x<y dan y<z mengakibatkan x<z

Penambahan, jika x<y dan z sembarang bilangan real maka x+z < y+z

Perkalian,  jika x<y dan z bilangan real positif maka xz<yz dan jika z bilangan real negatif maka xz>yz

 

Aksioma Kelengkapan, menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari ℝ yang terbatas di atas memiliki batas atas terkecil atau supremum dan setiap himpunan bagian tak kosong dari ℝ yang terbatas di bawah memiliki batas bawah terbesar atau infimum.

 

Batas Atas dan Bawah

Misalkan S sebuah himpunan bagian tak kosong dari ℝ

-  Sebuah bilangan a∈ℝ dikatakan batas atas S apabila x≤a untuk setiap x∈S

-  Sebuah bilangan b∈ℝ dikatakan batas bawah S apabilab x≥b untuk setiap x∈S

 

Contoh:

Himpunan S={1,3,7,11,19}. Bilangan 1 dan sembarang bilangan yang lebih kecil dari 1 merupakan batas bawah S, kemudian bilangan 19 dan sembarang bilangan yang lebih besar dari 19 merupakan batas atas S. Artiya, S merupakan himpunan terbatas.

 

FUNGSI

 

DEFENISI

Fungsi merupakan pemasangan atau pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (domain atau variabel bebas) kepada anggota himpunan yang lain (kodomain atau variabel terikat). Fungsi itu sendiri memiliki aturan pemetaan yaitu harus memasangkan tepat satu kali.

 

SIFAT SIFAT FUNGSI

Injektif (Satu-Satu)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif.

Surjektif (Onto)

Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A, maka f disebut fungsi surjektif atau onto

Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu)

Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

PENERAPAN  FUNGSI MATEMATIKA DALAM KEHIDUPAN SEHARI HARI

 

Fungsi Polinomial

Polinom atau yang sering di sebut suku banyak merupakan bentuk suku suku dengan nilai banyak yang disusun dari perubah variabel dan konstanta. Bentuk umum suku banyak (polinom) berderajat n dengan variable x adalah:

an xn + an-1 xn-1 + . . . + a1 x + a0 dengan an , an-1 , …. , a1 , a0 € R koefisien/konstanta. Suku banyak an ≠ 0, dan n bilangan bulat positif.

 

Contoh Penerapannya :

Membuat sebuah perahu atau yang lainnya. suku banyak digunakan untuk menentukan perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan ukuran perahu tersebut.

 

Fungsi Trigonometri 

Fungsi trigonometri adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu pada setiap anggota kodomain yang dinyatakan dalam bentuk sinus, cosinus dan tangen.

 

Contoh Penerapannya :

Mencari ketinggian menara dan pegunungan, menghitung ketinggian gelombang air laut. Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya

 

Fungsi Invers

Fungsi invers merupakan fungsi kebalikan dari fungsi aslinya. Fungsi f(x) akan memiliki invers dengan syarat f(x) merupakan fungsi bijektif. Jika fungsi ƒ memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers fungsi invers ƒ ditulis ƒ-1.

 

Contoh Penerapannya : 

Dalam cara kerja lift. Proses perpindahan orang yang naik lift merupakan kebalikan dari proses perpindahan orang yang turun lift, begitu juga sebaliknya.

 

Fungsi Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan (kontinu) dalam matematika.

 

Contoh Penerapannyaa :

Menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu dari Laju tetesan minyak dari sebuah tangki

 

Fungsi Limit

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

 

Contoh Penerapannya :

Dalam Rumah Sakit, menghitung kerusakan jantung yang biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac arrest. Pada kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak.

 

 

 

Sekian artikel ini,

Thank You and I Love You Six Thousand